La formalizzazione esemplifica il modo in cui la scienza costruisce modelli matematici per descrivere fenomeni fisici, nel caso della formalizzazione de La Linea Elastica - un tema legato alla meccanica del continuo e all’ingegneria strutturale - il modello è quantitativo e descrive, in modo deterministico, le deformazioni di un corpo elastico secondo la meccanica classica.
L' epistemologia ci invita a riflettere sulla validità del modello della linea elastica e sui suoi limiti come rappresen- tazione della realtà: è una descrizione ideale o reale di un fenomeno?
Popper si potrebbe chiedere se la teoria della linea elastica possa essere falsificabile e quali esperimenti potrebbero smentirla e Kuhn, dal momento che la teoria della linea elastica è parte di un paradigma ingegneristico accettato, potrebbe chiedersi se possa essere sostituita da una descrizione più avanzata.
La Quantistica e la Linea Elastica
La meccanica quantistica, MQ, è una visione non deterministica della realtà: descrive il comportamento delle particelle subatomiche sottoposto al Principio di Indeterminazione.
Laddove la meccanica classica permette di prevedere il moto di un corpo elastico, la MQ descrive lo stato del sistema tramite una funzione d’onda, con effetti quantistici come sovrapposizione e tunneling.
La quantistica e la linea elastica sono difficilmente compatibili, tranne nei casi in cui si studiano fenomeni quantistici nei materiali elastici: un possibile punto di contatto tra le due teorie è nella descrizione, in ambito quantistico, delle fluttuazioni microscopiche nei materiali elastici in quanto le proprietà elastiche potrebbero essere soggette a effetti della teoria delle fluttuazioni.
Instabilità strutturale e transizioni
La teoria classica, per prevedere il comportamento strutturale sotto una qualche sollecitazione, descrive le deformazioni in modo continuo e prevedibile ovvero la transizione tra stati di equilibrio è descritta come un passaggio graduale con un approccio deterministico, basato sulle equazioni differenziali e va incontro a limiti quando la struttura passa da uno stato di equilibrio a un altro.
In alcune situazioni - es. quando il carico supera una soglia critica - una struttura elastica può subire un cedimento improvviso o un cambiamento repentino ad es. il buckling di una colonna sottoposta a compressione o nel caso di una trave, sottoposta a carichi e vincoli, può curvarsi in più direzioni quando raggiunge il punto di instabilità ovvero assume più configurazioni di equilibrio.
L’instabilità strutturale
La teoria delle catastrofi spiega i salti improvvisi tra stati di equilibrio, rendendola un complemento fondamentale per la modellizzazione avanzata delle strutture elastiche e per comprendere il comportamento non lineare della linea elastica proprio nelle situazioni di instabilità.
Una prospettiva innovativa per studiare l'instabilità strutturale è rappresentata dalla fusione tra Teoria della Linea Elastica e Teoria delle Catastrofi di René Thom - già applicata in biologia, economia e fisica - descrive transizioni improvvise in sistemi dinamici continui quando piccole variazioni nei parametri portano a grandi cambiamenti nel comportamento del sistema.
La teoria si dimostra utile nella descrizione di cambiamenti improvvisi nei sistemi elastici: in fenomeni come transizioni di fase, cambiamenti di stato ed instabilità strutturali.
L’instabilità strutturale è descritta attraverso superfici di controllo in uno spazio multidimensionale - dove piccoli cambiamenti nelle condizioni possono far saltare il sistema da uno stato di equilibrio a un altro – tramite i modelli di Thom che consentono la descrizione delle transizioni tra stati di equilibrio in modo più realistico e avanzato.
Questo approccio non lineare e topologico può rivoluzionare l’ingegneria strutturale, la meccanica dei materiali e persino la robotica soft, dove il controllo delle deformazioni elastiche è fondamentaleperché supera i limiti delle formulazioni classiche e rappresenta adeguatamente le transizioni tra stati di equilibrio.
Un'applicazione della Teoria delle Catastrofi di Thom
La teoria di Thom classifica le catastrofi in diversi tipi, piega, cuspide, coda di rondine, etc. - a seconda del numero di variabili e parametri coinvolti - ed illustra come una piccola variazione nei parametri possa far sì che il sistema 'scelga' un equilibrio piuttosto che un altro, portando a un salto non lineare nel comportamento della struttura.
Per un'applicazione alla Linea Elastica è particolarmente utile il ricorso alla catastrofe a cuspide, in cui un piccolo cambiamento in un parametro strutturale - come la posizione di un carico o la rigidità del materiale - provoca un improvviso cedimento oppure una deformazione inattesa.
Nuovi modelli della teoria delle catastrofi
Andando oltre la descrizione tradizionale dell'elasticità, nuovi modelli catastrofici introducono una rappresentazione qualitativa e topologica dei cambiamenti di stato bruschi rendendo conto di fenomeni più complessi di instabilità: sono i modelli catastrofici di Plescia che vengono applicati alla Linea Elastica, specialmente nei casi di buckling e instabilità strutturale:
la sfera metaedrica: una superficie sferica con quattro punti ombelicali con una biforcazione a quattro rami;
la tetradiafarfalla: una superficie formata da quattro paraboloide iperbolici uniti per i vertici con una biforcazione a cinque rami;
la anfitetradiafarfalla: una superficie formata da otto paraboloide iperbolici uniti per i vertici con una biforcazione a nove rami;
le anfittradiafarfalle: una famiglia di superfici formate da un numero crescente di paraboloide iperbolici uniti per i vertici che mostrano biforcazioni a un numero dispari di rami.
Il diadema, una superficie formata da due coni uniti per le basi con una biforcazione a due rami, descrive il comportamento di una trave elastica quando supera un certo carico critico e può flettersi in due direzioni diverse tipico nel fenomeno del buckling;
la sfera ombelicale, una superficie sferica con due punti ombelicali in cui tutte le direzioni sono direzioni principali, può essere collegata all’analisi dello stato di tensione in un corpo elastico bidimensionale, dove appunto sono due le direzioni che dominano la deformazione;
la diafarfalla una superficie formata da due paraboloide iperbolici uniti per i vertici, con una biforcazione a tre rami, può essere usato per descrivere situazioni in cui una struttura elastica ha più configurazioni di equilibrio possibili, come una colonna sottoposta a carico eolico, che può piegarsi in direzioni multiple;
la farfallacuspide inventa il nuovo uno spazio topologico, un riferimento alla continuità nelle trasformazioni topologiche, l'idea può essere accostata alla meccanica del continuo nella linea elastica, ma spingendola oltre i confini classici e le equazioni differenziali standard, in particolare il modello della farfallacuspide può essere visto come un’analogia per il comportamento elastico in cui un sistema cambia radicalmente forma senza un percorso intermedio evidente.
Integrazione della Teoria della Linea Elastica con i nuovi modelli
L’integrazione tra la teoria della linea elastica con i nuovi modelli potrebbe fornire un quadro più completo per una descrizione più avanzata dell’instabilità strutturale e delle transizioni tra stati di equilibrio in sistemi elastici e quindi portare a nuovi criteri di sicurezza per le strutture.
In particolare:
i modelli possono prevedere non solo il punto critico ma quale forma il cedimento potrebbe assumere;
materiali avanzati con proprietà adattive
ovvero
sviluppare materiali elastici in grado di sfruttare le transizioni catastrofiche per cambiare forma in modo controllato;
infine
realizzare modelli predittivi più accurati ovvero descrivere le deformazioni elastiche con superfici topologiche invece che con semplici equazioni differenziali.
Applicazione dei nuovi modelli catastrofici
Ogni modello topologico può essere associato a un comportamento elastico specifico:
il diadema (biforcazione a due rami) → descrive il buckling classico di una colonna elastica, che può flettersi in due direzioni diverse quando supera la soglia critica;
la diafarfalla (biforcazione a tre rami) → rappresenta una struttura con tre possibili configurazioni di equilibrio, come una lastra sottile soggetta a forze esterne che la spingono verso forme multiple;
la sfera metaedrica (biforcazione a quattro rami) → può essere usata per descrivere sistemi elastici più complessi, come le instabilità in piastre elastiche con più direzioni di deformazione possibili.
Applicazioni ingegneristiche
Le equazioni della teoria delle catastrofi sono applicabili all’analisi delle strutture ingegneristiche in quanto possono descrivere il punto in cui una deformazione graduale porta a un cedimento improvviso.
In particolare, nell’ingegneria strutturale la teoria thomiana consente di prevedere e controllare fenomeni come il cedimento di ponti, edifici e altri sistemi elastici: con i conseguenti benefici e miglioramenti per la progettazione di strutture resilienti, riducendo il rischio di rotture improvvise, dovute a condizioni critiche, difficili da prevedere con la sola teoria elastica classica.
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